Khảo sát hàm số - giải tích 1

QLamXmaster

Tuesday, October 21, 2014

1. Phương trình tham số của đường cong:

Cho hai hàm số: $\left \{ \begin{array}{c} {x = x(t) \qquad (1)} \\{y = y(t) \qquad (2)} \end{array} \right.$

Khi t thay đổi, điểm $\text{M(x(t), y(t))}$ vẽ nên đường cong (C) trong mặt phẳng tọa độ (Oxy).

Nếu từ (1) ta giải được t theo x ( t = t(x)) rồi thế vào (2) thì ta sẽ có phương trình của đường cong (C) : y = f(x).

Các hàm số {(1), (2)} được gọi là phương trình tham số của đường cong (C).

Ví dụ 1: Xét hyperbol (H): ${ \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} =1}$

Vì hiệu bình phương của ${ \dfrac{x}{a}}$ , ${ \dfrac{y}{b}}$ bằng 1, nên có thể coi chúng là cht và sht:

$\dfrac{x}{a} = cht$ , $\dfrac{y}{b} = sht$ , $t \in \mathbb R$

Vậy ta có phương trình tham số của Hyperbol là:

$\fbox {x = a.cht ; y = b.sht}$

Ví dụ 2: Xicloit là quỹ đạo của một điểm M nằm trên một đường tròn bán kính a khi vòng tròn đó lăn không trượt trên một đường thẳng.

Giả sử vòng tròn lăn về phía hướng dương của trục Ox (và lăn trên trục hoành) , vị trí ban đầu của M trùng với gốc tọa độ O.

Khi đó, ta dễ dàng xác định được phương trình tham số của quỹ đạo điểm M là:

$\fbox {x = a.(t \!- sint) \qquad; \qquad y = a.(1 \!- cost)}$

2. Khảo sát đường cong cho bằng tham số:

Việc khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong tham số tiến hành tương tự như đã làm đối với đường cong có phương trình $y = f(x)$ . Gồm các bước sau đây:

Tìm miền xác định, tính chẵn lẻ, tuần hoàn.
Khảo sát và lập bảng biến thiên:
Tính đạo hàm ${ \dfrac{{dy}}{{dx}} = \dfrac{{{y'}_t}}{{{x'}_t}} = \dfrac{\dot{y}}{\dot{x}} } \qquad (3)$
Tìm các giá trị của tham số t sao cho tại đó ít nhất một trong các đạo hàm $\dot{x} = x_{t}^{'}$ hay $\dot{y} = y_{t}^{'}$ triệt tiêu. (nếu tồn tại $t_0$ sao cho $\dot{x}(t_{0}) = x_{t}^{'}(t_0) = 0$ , $\dot{y}(t_{0}) = y_{t}^{'}(t_0) = 0$ thì điểm $M(x_0 , y_0)$ là điểm kỳ dị, với $x_0 = x(t_0) , y_0 = y(t_0)$ ).
Mỗi khoảng $(t_k , t_{k+1})$ tương ứng với khoảng $(x_k , x_{k+1})$ sẽ xác định dấu của y'(x).
Tính đạo hàm cấp 2:
${ \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} = { \dfrac{y''(t).x'(t) - x''(t).y'(t)}{{[x'(t)]}^3}} = { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} - {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3} } \qquad (4)$
Từ (4) ta tìm các giá trị để đạo hàm cấp 2 triệt tiêu, từ đó xác định khoảng lồi, lõm của đường cong.
Tìm tiệm cận của đường cong:
Nếu $lim_{t \to t_0} x(t) = a$ , $\lim_{t \to t_0} y(t) = \infty$ thì x = a là tiệm cận đứng.
Nếu $lim_{t \to t_0} x(t) =$ $\infty$ , $\lim_{t \to t_0} y(t) = b$ thì y = b là tiệm cận ngang.
Nếu khi $t \to t_0$ , $x \to \infty$ , $y \to \infty$ và:
$lim_{t \to t_0} \frac{y(t)}{x(t)} = a$ , $lim_{t \to t_0} [y(t) \! - ax(t) ] = b$
thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
3. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi phương trình:
$\left \{ \begin{array}{c} {x = acos^{3}t} \\{y = asin^{3}t} \end{array} \right.$
Các hàm số x(t), y(t) xác định với mọi t.
Nhưng vì các hàm số $acos^{3}t, asin^{3}t$ là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 $\pi$ nên ta chỉ cần khảo sát với t nằm trong đoạn [0;2 $\pi$ ].
Do đó, khoảng biến thiên của x là đoạn [-a; a] và khoảng biến thiên của y là đoạn [-a; a].
Vậy đường cong được khảo sát không có tiệm cận.
Xét khoảng biến thiên. Ta có:
$x_t^{'} = -3acos^{2}tsint = 0$ khi $t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi$
$y_t^{'} = 3asin^{2}tcost$ khi $t=0, { \frac{ \pi}{2} }, \pi , { \frac{3 \pi}{2} } ,2\pi$
$y_{x}^{'} = -tg t = 0$ khi t = 0, $\pi , 2\pi$ $y_{x}^{'} = \infty$ tại ${ \dfrac{\pi}{2}} , { \dfrac{3\pi}{2}}$

Ta có bảng biến thiên sau:

$\begin{array}{c| c c c c c c c c c} \hline t & 0 & \quad & {\pi}/2 & \quad & {\pi} & \quad & 3{\pi}/2 & \quad & 2{pi} \\ \hline x't & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 &+ & 0 \\ \hline x & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 & \nearrow & a \\ \hline y't & 0 & + & 0 & - & 0 & - & 0 & + & 0 \\ \hline y & 0 & \nearrow & a & \searrow & 0 & \searrow & -a & \nearrow & 0 \\ \hline \ y'x & 0 & - & || & + & 0 & - & || & + & 0 \\ \hline \end{array}$

Tính đạo hàm cấp hai ta có:

$\ddot{y} = 6a.cost.sin^{2}t - 3a.cos^{3}t$

$\ddot{x} = 6a.sint.cos^{2}t - 3a.sin^{3}t$

Do đó:

${ \dfrac{d^{2}y}{dx^2}} = { \dfrac{{\ddot{y}}.{\dot{x}} - {\ddot{x}}.{\dot{y}}}{{\dot{x}}^3} } = { \dfrac{1}{3a.cos^{4}t.sint}}$

Nhận thấy:

Khi $0 < t < \pi$ : thì đường cong lõm

Khi $\pi < t < 2{\pi}$ : thì đường cong lồi

Lại có:

Khi $0 \le t \le {\pi}/2$ : thì $x \ge 0 , y \ge 0$ nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất

Khi ${\pi}/2 \le t \le {\pi}$ : thì $x \le 0 , y \ge 0$ nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ hai.

Khi ${\pi} \le t \le 3.{\pi}/2$ : thì $x \le 0 , y \le 0$ nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ ba.

Khi $3{\pi}/2 \le t \le 2.{\pi}$ : thì $x \ge 0 , y \le 0$ nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ tư.

Từ những dữ liệu trên ta sẽ có đường cong (C) trong mặt phằng là đường màu đỏ trong hình sau:

Phương trình đường cong (C) có được bằng cách lăn đường tròn nhỏ, bán kính a/4 bên tròn đường tròn lớn, bán kính a theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ điểm (1;0)